Inequação(parte 1)
Inequação é uma expressão matemática que possui a propriedade de expressar desigualdades, diferente da equação que expressa igualdade.
O sinal usado na equação é o símbolo de igual (=), já na inequação usaremos os seguintes símbolos matemáticos: > : maior que
< : menor que
≥ : maior que ou igual
≤ : menor que ou igual
Os passos para resolver uma inequação são semelhantes aos de uma equação.
Podemos generalizar a apresentação de uma inequação da seguinte forma:
ax + b > 0
ax + b < 0
ax + b ≥ 0
ax + b ≤ 0
Onde a e b são números reais e a ≠ 0
Resolução de inequações e representação na reta real.
Exemplo 1
2x + 7 > –1 + 2
2x > –1 + 2 – 7
2x > –8+2
2x > –6
x > –3
{xЄR/x > –3}
Exemplo 2
4x – 10 < 20 – 2x
4x + 2x < 20 + 10
6x < 30
x < 5
{xЄR/x < 5}
Exemplo 3
4 < 2x – 4 < 10
4 + 4 < 2x < 10 + 4
8 < 2x < 14
8/2 < x < 14/2
4 < x < 7
{xЄR/4 < x < 7}
Exemplo 4
5 ≤ 2x – 3 < 7
5 + 3 ≤ 2x < 7 + 3
8 ≤ 2x < 10
8/2 ≤ x < 10/2
4 ≤ x < 5
{xЄR/4 ≤ x < 5}
Exemplo 5
1 ≤ 4x – 7 ≤ 13
1 + 7 ≤ 4x ≤ 13 + 7
8 ≤ 4x ≤ 20
8/4 ≤ x ≤ 20/4
2 ≤ x ≤ 5
{xЄR/2 ≤ x ≤ 5
Parte 2
INEQUAÇÕES
Definições
Inequação: toda a desigualdade literal que é apenas satisfeita por certos valores, as letras ou incongnitas que nela figuram, por outras palavras, apresentam os sinais de maior (>) ou menor (<) ao invés do sinal de igualdade que é o caracteriza as equações.
Soluções ou Raízes de uma Inequação: os valores das incógnitas ou letras que satisfazem a inequação, que a transformam numa desigualdade númerica.
Exemplo:
É essencial para este tema que as inequações sejam resolvidas complementadas pelos respectivos gráficos, é um tema complexo que o levará a analisar todo e qualquer tipo de resultado.
Tome atenção aos aspectos apresentados, não se apresse!!!.
1. Encontre o valor de x que satisfaça a inequação de forma que o seu valor seja maior que 0.
1. Assim começa a equação
1.1. O primeiro passo é isolar o valor de x, por isso, passa-se o valor 6 para o 2º Termo invertendo o sinal e deixando unicamente no 1º Termo os valores que contêm a variável x.
1.2. Isolando completamente a variável de cálculo.
1.3. Nesse ponto, só precisa fazer a conta 6:2 =3, não esquecendo o sinal negativo( - 6 : 2 = - 3).
Substituindo o valor de encontrado de x na equação principal, o resultado deve ser maior que 0, ou seja, temos de substituir por valores maiores que -3, por que? Experimente substituir pelo próprio valor -3.
1. Lembre-se os valores a substituir têm de ser maiores que -3, assim sucessivamente. Exemplo: Experimente -2, -1 e 0.
2. Resolva a seguinte inequação fraccionária:
2.1. Antes de começarmos a resolver a inequação devemos ter em conta que a operação com números fraccionários não é complexa, apenas exige mais passos e consequentemente aumenta a probabilidade de cometer erros na resolução dos exercícios. Assim, simplificamos a inequação multiplicando ambos os termos por 3, visto que ambas as fracções são divisíveis por este valor.
2.2. Multiplicando toda a inequação por 3, eliminam-se as fracções. Este procedimento não altera em nada a inequação apenas a torna mais simples. Vejamos o que acontece o que acontece: 3 a multiplicar pela inequação toda apenas afeta os numeradores. Passemos ao exemplo abaixo.
2.3. Como 3:3 = 1, conforme mostram os valores que são cortados no exemplo acima, a inequação simplicada apresentará o seguinte aspecto ou resultado. Eliminaram-se dessa forma as fracções.
2.4. Quando a variável de cálculo é afetado pelo sinal negativo devemos sempre torná-lo num sinal positivo multiplicando ambos os termos da inequação por (-1). No caso das inequações essa operação afeta também o sinal da desigualdade (> ou <); invertendo-o. Veja o exemplo abaixo.
2.4.1 Porquê o sinal de desigualdade deve sempre mudar de maior (>) para menor (<) e viceversa.
È simples: Admita por exemplo, a seguinte desigualdade ou inequação na qual substituiráx pelos valores -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
2.4.2. Agora experimente fazer com que -x passe de negativo a positivo, x, sem inverter a desigualdade. Multiplicar toda a inequação por (-1) deixando de lado o sinal (<).Veja o exemplo.
2.4.3 Veja agora a operação respeitando a inversão do sinal de desigualdade. Multiplicando tudo por (-1) e passando também o sinal (>) para (<). Atenção: Igual a solução apresentada por 2.4.1. Esta é a operação correta.
Exercícios propostos
a) Resolva a seguinte inequação modular:
Começaremos por analisar o conceito ou a definição de módulo, que diz que:
|x| = x se x >= 0
|-x| = x se x < 0 ou vice-versa -x = |x| se x < 0
O que se quer aqui dizer, é que independentemente da resultante do módulo ser sempre positiva o valor que está dentro do módulo (ou a sua origem) pode ser positivo ou negativo.
Assim:
Propriedade do Módulo - quando a desigualdade for menor que a: o conjunto solução é restrito entre -a e a.
quando a desigualdade for maior que a: o conjunto solução apresenta valores ou
maiores que a ou menores que -a.
Resolução a)
Definições
Inequação: toda a desigualdade literal que é apenas satisfeita por certos valores, as letras ou incongnitas que nela figuram, por outras palavras, apresentam os sinais de maior (>) ou menor (<) ao invés do sinal de igualdade que é o caracteriza as equações.
Soluções ou Raízes de uma Inequação: os valores das incógnitas ou letras que satisfazem a inequação, que a transformam numa desigualdade númerica.
Exemplo:
É essencial para este tema que as inequações sejam resolvidas complementadas pelos respectivos gráficos, é um tema complexo que o levará a analisar todo e qualquer tipo de resultado.
Tome atenção aos aspectos apresentados, não se apresse!!!.
1. Encontre o valor de x que satisfaça a inequação de forma que o seu valor seja maior que 0.
1. Encontre o valor de x que satisfaça a inequação de forma que o seu valor seja maior que 0.
1. Assim começa a equação
1.1. O primeiro passo é isolar o valor de x, por isso, passa-se o valor 6 para o 2º Termo invertendo o sinal e deixando unicamente no 1º Termo os valores que contêm a variável x.
1.2. Isolando completamente a variável de cálculo.
1.3. Nesse ponto, só precisa fazer a conta 6:2 =3, não esquecendo o sinal negativo( - 6 : 2 = - 3).
Substituindo o valor de encontrado de x na equação principal, o resultado deve ser maior que 0, ou seja, temos de substituir por valores maiores que -3, por que? Experimente substituir pelo próprio valor -3.
1. Lembre-se os valores a substituir têm de ser maiores que -3, assim sucessivamente. Exemplo: Experimente -2, -1 e 0.
2. Resolva a seguinte inequação fraccionária:
2.1. Antes de começarmos a resolver a inequação devemos ter em conta que a operação com números fraccionários não é complexa, apenas exige mais passos e consequentemente aumenta a probabilidade de cometer erros na resolução dos exercícios. Assim, simplificamos a inequação multiplicando ambos os termos por 3, visto que ambas as fracções são divisíveis por este valor.
2.2. Multiplicando toda a inequação por 3, eliminam-se as fracções. Este procedimento não altera em nada a inequação apenas a torna mais simples. Vejamos o que acontece o que acontece: 3 a multiplicar pela inequação toda apenas afeta os numeradores. Passemos ao exemplo abaixo.
2.3. Como 3:3 = 1, conforme mostram os valores que são cortados no exemplo acima, a inequação simplicada apresentará o seguinte aspecto ou resultado. Eliminaram-se dessa forma as fracções.
2.4. Quando a variável de cálculo é afetado pelo sinal negativo devemos sempre torná-lo num sinal positivo multiplicando ambos os termos da inequação por (-1). No caso das inequações essa operação afeta também o sinal da desigualdade (> ou <); invertendo-o. Veja o exemplo abaixo.
2.4.1 Porquê o sinal de desigualdade deve sempre mudar de maior (>) para menor (<) e viceversa.
È simples: Admita por exemplo, a seguinte desigualdade ou inequação na qual substituiráx pelos valores -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
2.4.2. Agora experimente fazer com que -x passe de negativo a positivo, x, sem inverter a desigualdade. Multiplicar toda a inequação por (-1) deixando de lado o sinal (<).Veja o exemplo.
2.4.3 Veja agora a operação respeitando a inversão do sinal de desigualdade. Multiplicando tudo por (-1) e passando também o sinal (>) para (<). Atenção: Igual a solução apresentada por 2.4.1. Esta é a operação correta.
Exercícios propostos
a) Resolva a seguinte inequação modular:
Começaremos por analisar o conceito ou a definição de módulo, que diz que:
|x| = x se x >= 0
|-x| = x se x < 0 ou vice-versa -x = |x| se x < 0
O que se quer aqui dizer, é que independentemente da resultante do módulo ser sempre positiva o valor que está dentro do módulo (ou a sua origem) pode ser positivo ou negativo.
Assim:
|
| Propriedade do Módulo - quando a desigualdade for menor que a: o conjunto solução é restrito entre -a e a.
quando a desigualdade for maior que a: o conjunto solução apresenta valores ou
maiores que a ou menores que -a. |
Resolução a)
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