Função do 2º grau- exercícios
- Raiz nada mais é do que os valores de x para qual a função vale zero!
O QUÊ??????????????
Calma, isso quer dizer que devemos calcular quais são os valores de x em que a parábola "corta" o eixo dos X.
Veja no exemplo abaixo o que é "raiz", graficamente:
Como já deve ter percebido, o exemplo tem DUAS raízes.
- E é sempre duas raízes?
Sim, uma função do segundo grau sempre terá DUAS raízes. Elas até podem ser iguais, mas sempre terá DUAS (se fosse do terceiro grau teria TRÊS, do quarto grau teria QUATRO...).
E para calcular as raízes desta função do segundo grau, utilizamos uma fórmula muito querida por todos que estudam no ensino médio (hehehe), a famosa fórmula de Bhaskara:
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Onde cada letra desta fórmula representa os coeficientes da função do segundo grau que queremos resolver. Basta substituir e achar os valores. Podem notar que há um ± no meio da fórmula. Pois é, é daí que irá sair dois resultados: um com o sinal de + e outro com o sinal de -. Veja o exemplo:
Neste exemplo temos os coeficientes, a=2, b= -6 e c= -20 (Muita atenção para os sinais)
Agora substituindo na fórmula de Bhaskara:
Agora substituindo na fórmula de Bhaskara:
Agora chegamos no momento crucial do cálculo das raízes.
Devemos separar esta conta em duas: uma com o sinal de + e a outra com o sinal de -. Assim:
Portanto as duas raízes da função são 5 e -2.
são 5 e -2.
Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser igual a zero.
Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.
Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.
Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:
f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)
f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)
f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)
Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.
Exemplo 1
A função do 2º grau f(x) = – x2 + x – 2, pode ser representada por y = – x2 + x – 2. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos primeiro estipular alguns valores para x. Vamos dizer que x = –3; –2; –1; 0; 1; 2. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:
x = – 3
y = – (–3)2 + (–3) – 2
y = –9 – 3 – 2
y = – 12 – 2
y = – 14
x = – 2
y = –( – 2)2 + (– 2) – 2
y = – 4 – 2 – 2
y = – 8
x = –1
y = – (–1)2 + (–1) – 2
y = – 1 – 1 – 2
y = – 2 – 2
y = – 4
x = 0
y = 02 + 0 – 2
y = – 2
x = 1
y = – 12 + 1 – 2
y = – 1 + 1 – 2
y = – 2
x = 2
y = – 22 + 2 – 2
y = – 4 + 2 – 2
y = – 4
Exemplo 2
Dada a função y = 2x2 + x + 3, determine o conjunto imagem referente aos domínios –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.
x = –2
y = 2*(–2)2 + (–2) + 3
y = 2*4 – 2 + 3
y = 8 – 2 + 3
y = 9
x = –1
y = 2*(–1)2 + (–1) + 3
y = 2 – 1 + 3
y = 4
x = 0
y = 2*02 + 0 + 3
y = 3
x = 1
y = 2*12 + 1 + 3
y = 2 + 1 + 3
y = 6
x = 2
y = 2*22 + 2 + 3
y = 8 + 2 + 3
y = 13
x = 3
y = 2*32 + 3 + 3
y = 18 + 3 + 3
y = 24
x = 4
y = 2*42 + 4 + 3
y = 32 + 4 + 3
y = 39
Exemplo 3
Com relação à função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.
f(0) = 0, isso significa que x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9 pode ser escrita assim: y = 3x2 – 5x + m2 – 9, agora basta fazer as substituições:
f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9
f(0) = 3 * 02 – 5 * 0 + m2 – 9
0 = m2 – 9
m2 = 9
m = √9
m = – 3 ou + 3
Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.
Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.
Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:
f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)
f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)
f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)
Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.
Exemplo 1
A função do 2º grau f(x) = – x2 + x – 2, pode ser representada por y = – x2 + x – 2. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos primeiro estipular alguns valores para x. Vamos dizer que x = –3; –2; –1; 0; 1; 2. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:
x = – 3
y = – (–3)2 + (–3) – 2
y = –9 – 3 – 2
y = – 12 – 2
y = – 14
x = – 2
y = –( – 2)2 + (– 2) – 2
y = – 4 – 2 – 2
y = – 8
x = –1
y = – (–1)2 + (–1) – 2
y = – 1 – 1 – 2
y = – 2 – 2
y = – 4
x = 0
y = 02 + 0 – 2
y = – 2
x = 1
y = – 12 + 1 – 2
y = – 1 + 1 – 2
y = – 2
x = 2
y = – 22 + 2 – 2
y = – 4 + 2 – 2
y = – 4
Exemplo 2
Dada a função y = 2x2 + x + 3, determine o conjunto imagem referente aos domínios –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.
x = –2
y = 2*(–2)2 + (–2) + 3
y = 2*4 – 2 + 3
y = 8 – 2 + 3
y = 9
x = –1
y = 2*(–1)2 + (–1) + 3
y = 2 – 1 + 3
y = 4
x = 0
y = 2*02 + 0 + 3
y = 3
x = 1
y = 2*12 + 1 + 3
y = 2 + 1 + 3
y = 6
x = 2
y = 2*22 + 2 + 3
y = 8 + 2 + 3
y = 13
x = 3
y = 2*32 + 3 + 3
y = 18 + 3 + 3
y = 24
x = 4
y = 2*42 + 4 + 3
y = 32 + 4 + 3
y = 39
Exemplo 3
Com relação à função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.
f(0) = 0, isso significa que x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9 pode ser escrita assim: y = 3x2 – 5x + m2 – 9, agora basta fazer as substituições:
f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9
f(0) = 3 * 02 – 5 * 0 + m2 – 9
0 = m2 – 9
m2 = 9
m = √9
m = – 3 ou + 3
